互质的定义

 时间:2013-04-16  贡献者:jiege2048

导读:互质定义.doc,互质的定义定义互质(relatively primeì)又叫互素。若 N 个整数的最大公因子是 1, 则称这 N 个整数互质。 例如 8,10 的最大公因子是 2,不是 1,因此不是整数互质。 7,10,13 的最大公因

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互质的定义定义互质(relatively primeì)又叫互素。

若 N 个整数的最大公因子是 1, 则称这 N 个整数互质。

例如 8,10 的最大公因子是 2,不是 1,因此不是整数互质。

7,10,13 的最大公因子是 1,因此这是整数互质。

5 和 5 不互质,因为 5 和 5 的公因数有 1、5。

1 和任何数都成倍数关系,但和任何数都互质。

因为 1 的因数只有 1, 而互质数的原则是:只要两数的公因数只有 1 时,就说两数是互质数。

1 只 有一个因数(所以 1 既不是质数(素数),也不是合数),无法再找到 1 和其他数的别的公因数了,所以 1 和任何数都互质(除 0 外)。

互质数的写法:如 c 与 m 互质,则写作(c,m)=1。

小学数学教材对互质数是这样定义的:“公约数只有 1 的两个数,叫 做互质数。

” 这里所说的“两个数”是指自然数。

“公约数只有 1”,不能误说成“没有公约数。

”判别方法(1)两个不同的质数一定是互质数。

例如,2 与 7、13 与 19。

(2)一个质数如果不能整除另一个合数,这两个数为互质数。

例如,3 与 10、5 与 26。

(3)1 不是质数也不是合数,它和任何一个自然数在一起都是互质数。

如 1 和 9908。

(4)相邻的两个自然数是互质数。

如 15 与 16。

(5)相邻的两个奇数是互质数。

如 49 与 51。

(6)大数是质数的两个数是互质数。

如 97 与 88。

(7) 小数是质数, 大数不是小数的倍数的两个数是互质数。

7 和 16。

如 (8)两个数都是合数(二数差又较大),小数所有的质因数,都不是 大数的约数,这两个数是互质数。

如 357 与 715,357=3×7×17,而 3、7 和 17 都不是 715 的约数,这两 个数为互质数。

(9)两个数都是合数(二数差较小),这两个数的差的所有质因数都 不是小数的约数,这两个数是互质数。

如 85 和 78。

85-78=7,7 不是 78 的约数,这两个数是互质数。

(10) 两个数都是合数, 大数除以小数的余数 (不为“0”且大于“ 1”) 的所有质因数,都不是小数的约数,这两个数是互质数。

如 462 与 221 462÷221=2„„20, 20=2×2×5。

2、5 都不是 221 的约数,这两个数是互质数。

(11)减除法。

如 255 与 182。

255-182=73,观察知 73182。

182-(73×2)=36,显然 3673。

73-(36×2)=1, (255,182)=1。

所以这两个数是互质数。

三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况:一种是这些成互质数 的自然数是两两互质的。

如 2、3、5。

另一种不是两两互质的。

如 6、8、9。

第十二讲 数列的规律(一)德国数学家高斯 10 岁时,用一种十分巧妙的方法很快求出了 1+2+3„„+99+100 的和, 被后人称之为著名的高斯定理.这就说明生活中的很多问题都是有规律的.我们只有通过分 析找出其中的规律才能解决其中问题.今天我们就来探索一下数列的一些规律. 对于某一个数列,我们可以根据这个数列中已经给出的前几项,找出它们排列的规律,并 根据这一规律填出数列中的其他各项. 例 1、找规律填出下列数列中的缺项。

(1)1、5、9、 ( )( )( ) 、 、 (2)30、24、18、 ( )( 、 )( ) 、 (3)1、4、9、16、 ( )( )( ) 、 、 (4)0、3、8、15、 ( )( )( ) 、 、 (5)1、1、2、3、5、8、 ( )( ) 、 (6)1、3、2、6、5、15、14、 ( )( )( ) 、 、 (7)1/2、2/3、3/4、4/5、 ( )( )( ) 、 、 (8)2(1/2) 、4(9/4) 、8(9/16) 、16(16/25) 、32(25/36)( 、 )( 、 ) 、 ( ) (9)6、7、9、13、21、37、69、 ( ) 例 2、已知下面数列的第 N 项 an 的公式写出它们的前 5 项 (1)an=n2 (2)an=n2-1 (3)an=1/n(n+1) (4)an=n/(n+1) (5)an=2n+1 例 3、在数列 1/1、1/2、2/2、1/3、2/3、3/3、1/4、2/4、3/4、4/4、„ (1)5/12 是第几个分数? (2)第 300 个分数是几分之几?例 4、已知数列 1、4、7、10、„„,问它的第 100 项是几,第 120 项呢?

例 5、已知数列 8、10、12、14、„„222,问该数列共有多少项?例 6、已知数列„„57、59、61、63,共 20 项求该数列的首项。

例 7、 序号 算式 1 1+1 2 2+3 3 3+5 4 1+7 5 2+9 6 3+11 7 1+13 8 2+15 9 3+17 10 1+19 „„ „„根据上面的规律,第 40 个个序号的算式是(1+79) ,算式为“1+103”的序号是(52) 。

例 8、一条小虫,自幼虫长到成虫,每天长大一倍,10 天长到 10 厘米长到 2.5 厘米时 需要几天?例 9、求 200 到 300 之间的 7 倍数之和。

例 10、梯子的最高一级宽 32 厘米,最低一级宽 10 厘米,是间还有 9 级,各级的宽度 成等差数列,求是间一级的宽度。

如果在 a 与 b 之间插入一个数 p, a、 b 成等差数列, 使 p、 那么, p-a=b-p, 所以 p=(a+b)/2, 这就是说,当中的一项等于首末两项的和的一半。

例 11、在 1(1/2) 、2(1/2)两数之间插入一个数,使其成为一个等差数列。

例 12、在 12 和 60 之间插入 3 个数,使这 5 个数成为等差数列。

例 13、一个等差数列的第一项是 5.6,第六项是 20.6,求它的第四项。

例 14、在平面上画 1994 条直线,这些直线最多能形成多少个交点?例 15、在一个长方形中,如果没有一条直线,则长方形可以看作一个部分。

如果在长 方形中, 画一条直线这个长方形就被分成两个部分在长方形中画两条直线最多可以将长方形 分成四个部分如果画三条直线最多可以将长方形分成七个部分, 如果在长方形中画 100 条直 线,最多可以将长方形分成多少个部分?练习: 1、右图表格中的数字是按一定规律排列的,按此规律,空格处应是什么数? 7 11 19 35 ?

2、在下面一组数中,有一个与从不同的数,请你把它找出来:3、5、7、9、17、23、 37。

3、16 个苹果,分别放在 5 个盘里,应怎样放才能使每个盘子里苹果只数不相同?等差数列的基本形式和它的求和公式。

如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它们前一项的差等于同一个常数, 这个数列就叫做 等差数列。

这个常数叫做数列的公差,公差用 d 青工。

设数列{an}是等差数列,则它的通项 公式是 an=a1+(n-1)×d。

则它的前 n 项和 Sn=(a1+a2)×n/2练习: 1、找规律。

(1)1、3、9、27、 ( ) 、243 (2)2、7、12、17、22、 ( )( ) 、 、37 (3)1、3、2、4、3、 ( ) 、4 (4)0、3、8、15、24、 ( )48 (5)6、3、8、5、10、7、12、9、 ( )11 (6)2、3、5、 ( )( ) 、 、17、23 2、一串数按下面规律排列 1、3、5、2、4、6、3、5、7、4、6、8、5、7、9、从第一个数字算起,前 100 项个数 的和是多少?3、从平面中任意作 100 条直线,这些直线最多能形成多少个交点?4、在平面中任意作 20 条直线,这此直线最多可把这介平面分成多少个部分?博览:假如一种细菌每小时分裂一次(就是一个变两个) ,现在这种细菌有 100 个,那 么 1 小时后,这种细菌将有 200 个,2 小时后将有 400 个,„„如果我们把每过 1 小时细菌 和求出,就得到一列数:100、200、400、800、1600、3200„„,这列数的特点是,后一个 数是前一个数的 2 倍,像这样的数列称为“等比数列”

第十三讲 数列的规律(二)我们上一讲研究了数列中最基本的一种, 等差数列, 通过研究, 我们初步对它有了了解。

复习:1、在 5 和 100 间插入个数以后,使之成为等差数列。

2、求等差数列 2、9、16、„„的第 20 项 3、已知等差数列的第一项是 12,第六项是 27,求公差。

本讲主要是运用等差数列的求和公式,求解一些有趣的数学题。

例 1、求一切被 4 除后余 1 的两位数之和。

例 2、甲和乙赛跑,限定时间为 10 秒,谁跑的距离长的就算胜,甲第一秒跑 1 米,以 后每秒比前一秒多跑 0.1 米,乙始终每秒都是 1.5 米,问两人谁取胜?例 3、有 10 个盒子,44 只乒乓球,怎样做,使各个例子里的乒乓球不相等?例 4、某班有 56 个同学,放假时,一一握手告别,每两个人都握一次,而且只握一只 手,问共握手多少次?例 5、某次乒乓球比赛,共有 15 个队参加,第一轮是循环赛,问一共要赛多少场?例 6、观察下面的等式:1 +2 =9 1 +2 +3 =36 1 +2 +3 +4 =100 „„3 3 3 3 3 3 333(1+2) =9 (1+2+3) =36 (1+2+3+4) =100 „„2 22

问:13+2 +3 +4 +„„+9 +1033333等于多少?例 7、把 28 个苹果分给 7 个小朋友,每人都分到,如果每人分得的个数不一样多,问 他们各分到多少?少于 28 个行吗?为什么?30 个呢?有几种分法?例 8、把自然数从小到大按 1 个、2 个、3 个、„„的顺序分群排列: (1)(2、3)(4、5、6)(7、8、9、10)(11、12、13、14、15) 、 、 、 、 、„„即第 N 群内 有 N 个自然数。

A、试求第 10 个群最前面的一个数 B、试求第 10 个群中所有自然数的和 C、试问 100 在第几君中第几位。

例 9、有 60 张卡片,按从小到大的顺序排列,第一次,从第一张开始依次间隔取出一 张; 第二次, 又从剩下的卡片中从第一张开始, 依次间隔取出一张, 像这样下去, 几次取完?练习: 1、有一个六层塔,每一层点灯的盏数都等于上一层的 3 倍,最顶层点了 4 灯,求这座 塔一共点了多少盏灯?2、求 200 以内能被 7 整除的数的和。

3、求一切被 5 除余 2 的两位数之和。

4、时钟每个整点敲该钟点数,每半敲一下,一昼夜共敲多少下?5、把奇数数列按 2 个、3 个、2 个、3 个„„依次分群,得: (1、3)(5、7、9)(11、 、 、 13)(15、17、19) 、 、„„第 20 君中各数的和是多少?例 10、求下面数列的各项和 (1)4、7、16、19、28、31、40、43、52、55 (2)12、8、28、24、44、40、60、56、76、72例 11、 如图连结正方形各边的中点得 5 个大小不同的正方形, 已知中心正方形面积为 3 平方厘米求这 5 个正方形面积的和。

[等比数列的求和,但用乘法分配律和结合律]例 12、求 3、7、15、31、63、127、255、511、1023 之和。

[加 1 成等比数列,同上]练习:1、数列 5、6、7、8„„94、95、96 的当中一个数是几?2、 一套书有 5 本, 每隔 5 年出一本, 3 本是 1959 年出版的, 第 其它几本是哪年出版的?3、三个数成等差数列,它们的和是 9,积是 15,求这三个数?4、已知数列 5、7、11、17、25、35„„求它的第 15 项。

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